Всего: 71 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–71
Добавить в вариант
В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребѐнка — простое число. Сколько лет младшему?
Остатки от деления на 5 разностей возрастов равны 2, 1, 3, 2 и 4, соответственно. Поэтому, если возраст младшего не делится на 5, то возраст какого-то другого ребёнка делится. Так как все числа простые, то это число равно 5. Подходит только второй ребѐнок, так как иначе возраст самого младшего должен быть меньше нуля. Тогда возраста 3, 5, 9, 11, 15 и 17, но здесь не все числа простые. Значит, возраст самого младшего равен 5. Тогда остаётся один вариант и числа равны 5, 7, 11, 13, 17 и 19.
Ответ: 5, 7, 11, 13, 17 и 19.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Есть догадка, что надо смотреть по модулю 5. | 1 |
| Рассмотрен только один из случаев, когда первому или второму ребёнку 5 лет. | 4 |
| Правильный ответ без обоснования. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Можно ли из дробей 
(все дроби с натуральными числителем и знаменателем, сумма числителя и знаменателя которых равна 101) выбрать три, произведение которых равно 1?
Предположим противное, и найдутся три таких дроби 
произведение которых равно 1. Тогда
правая часть равенства делится на 101, следовательно, и левая тоже. Ввиду простоты числа 101 отсюда следует, что одно из чисел должно делиться на 101, что невозможно, так как они меньше 101.
Ответ: Нет, нельзя.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Отсутствие прямого указания на простоту числа 101. | 4 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Найти все натуральные числа n, такие, что 
для некоторых простых p и q.
Приведя выражение в условии к общему знаменателю, получим: 
Из простоты p и q следует, что делителями правой части могут быть только числа 1, p, q и pq, одно из которых и должно равняться 
Ввиду того, что 1, p и q меньше 
получаем 
и 
Перепишем последнее равенство в виде 
откуда 
или 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верный ответ. | 7 |
Угадано  и  , . | 1 |
| Доказано, что — единственное число, которое может удовлетворять условию. | 5 |
Показано, что оно удовлетворяет условию при , или  ,  . | 2 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Про семь натуральных чисел 
известно, что все они — различные простые числа. Найти все значения, которые может принимать наименьшее из этих семи чисел.
Из условия следует, что, в частности, a, b, c — тоже простые. Если бы минимальное из семи чисел равнялось двойке, четыре последних числа были различными чётными, то есть не могли быть все простым. Если все семь чисел больше трёх, в силу простоты они не делятся на 3, их остатки от деления на 3 равны 1 или −1. Рассмотрим варианты остатков от деления на 3 самих чисел a, b, c. Если все их остатки равны между собой, то делиться на 3 будет число 
Если два из них равны, а третье имеет противоположный знак, то на 3 будет будет делиться одно из чисел 
В обоих случаях одно из семи чисел делится на 3 и по предположению больше 3, что противоречит его простоте. Следовательно, минимальное из семи чисел в условии может быть равно только 3. Пример таких чисел: 
Ответ: 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Доказательство минимальности числа 3, или верное решение, но не рассмотрен случай с двойкой. | 5 |
| Верный ответ с примером. | 2 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Делитель натурального числа называется собственным, если он отличен от 1 и самого этого числа. Найдите все натуральные числа, у которых разница между суммой двух самых больших собственных делителей и суммой двух самых маленьких собственных делителей есть простое число.
Имеет место один из двух случаев.
А) Пусть оба наименьших делителя p и q — простые числа. Тогда простым будет число r = (n/p + n/q) − (p + q), и pqr = (p + q)(n − pq). Поскольку числа p + q и pq взаимно просты, получаем r = p + q, откуда p = 2 и n = 4q. Но тогда в силу выбора q получаем q = 3 и n = 12.
Б) Пусть наименьшие делители имеют вид p и p2, где p простое. Этот случай разбирается аналогично.
Замечание. Возможна ситуация, когда число имеет всего три собственных делителя. Тогда упомянутая в условии разность есть разность между наибольшим и наименьшим из собственных делителей. Но любое число с тремя собственными делителями есть степень простого p4, а разность p3 − p простым числом быть не может.
Ответ: 12 (2, 3, 4, 6).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение. | 20 |
| Незначительные ошибки. | 16 |
| Значительные пробелы в решении. | 10 |
| Есть идея, что pnq = (p + q)(n − pq) | 6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
При каком минимальном n в любом множестве из n различных натуральных чисел, не превосходящих 100, найдутся два, сумма которых является простым числом?
Сумма двух чётных натуральных чисел всегда чётна и больше двух, следовательно, не может быть простым числом. Поэтому пример множества из всех пятидесяти чётных чисел, не превосходящих 100 показывает, что минимальное n не меньше 51. С другой стороны, разобьём все натуральные числа от 1 до 100 на 50 пар, сумма чисел в каждой из которых равна простому числу 101: 1 и 100, 2 и 99, …, 50 и 51. Если в выбранном множестве не меньше 51 числа, то, по принципу Дирихле, хотя бы два из них попадут в одну пару, и их сумма будет простым числом.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Пример, показывающий, что n больше 50. | 2 |
| Доказательство того, что в любом множестве из 51 различных натуральных чисел, не превосходящих 100, найдутся два, сумма которых является простым числом. | 5 |
| Идея примера, но он не приведен явно. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Может ли сумма объёма, длин всех рёбер и площадей всех граней некоторого прямоугольного параллелепипеда, длины рёбер которого являются целыми числами, равняться 866?
Обозначим длины рёбер исходного параллелепипеда за x, y, z, тогда сумма объёма, длин всех рёбер и площадей всех его граней равна 
Если добавить к обеим частям 8, это уравнение можно записать как 
Правая часть является произведение простых чисел 2, 19 и 23, откуда легко следует, что это единственное разложение данного числа в произведение трёх натуральных чисел, больших 1, и одно из них равно 2. Однако левая часть уравнения является произведением трёх натуральных чисел, каждое из которых не меньше трёх, что приводит к противоречию. Следовательно, равенство из условия задачи невозможно.
Ответ: Нет.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Найдено разложение левой части уравнения | 4 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Найдите все простые числа, десятичная запись которых имеет вид 101010…101.
Пусть 
— количество цифр в исследуемом числе 
Пусть 
— основание системы счисления. Тогда 
Рассмотрим случаи четного и нечетного 
· 
Таким образом, число A представлено в виде произведения двух целых сомножителей (по теореме Безу многочлен 
делится без остатка на многочлен 
), каждый из которых отличен от 1. Значит, при четных n число A простым не является.
· 
. При 
оба сомножителя целые и отличны от 1; значит, число A составное. Остается убедиться, что при 
получается простое число 
Ответ: 101.
Может ли число nnn − 4nn + 3 быть простым при натуральном n > 2?
Можно заметить, что указанное число всегда делится на 
Это легко доказывается через формулу разности степеней или пользуясь тем обстоятельством, что 
При этом частное тоже больше единицы при 
Ответ: нет.
Только ответ «Нет» — 0 баллов.
В авторском решении не требовать подробного доказательства делимости на
У этой задачи есть также решения по конкретным модулям.
Найдите все натуральные n, при которых число nn − 4n + 3 простое.
Можно заметить, что указанное число всегда делится на Это легко доказывается через формулу разности степеней или пользуясь тем обстоятельством, что 
При этом частное тоже больше единицы при 
Значит, возможные n, при которых получается просто число — это 2 (единица не под- ходит, так как по из-за делимости 
Ответ: таких чисел нет.
Не разобраны случаи 
(при необходимости) — 1,5 балла.
В авторском решении не требовать подробного доказательства делимости на
Два различных простых числа p и q отличаются менее чем в два раза. Докажите, что существуют такие два последовательных натуральных числа, что у одного из них наибольший простой делитель равен p, а у другого — q.
(А. Голованов)
Решение 1 (полная система вычетов). Пусть 
Рассмотрим целые числа 
Это p последовательных чисел, поэтому все они дают различные остатки при делении на p. Умножим теперь эти p чисел на q. Покажем, что числа в новом наборе также будут давать различные остатки при делении на p. Если qa и qb (при 
дают одинаковые остатки при делении на p, то натуральное число 
делится на p, а значит, и 
делится на p, что невозможно, ибо положительно и меньше p. Итак, числа в новом наборе дают различные остатки при делении на 
Но поскольку их всего p, среди них найдется число, дающее остаток 
Следовательно, мы доказали, что существует такое число k, что 
делится на p и 
Тогда
Поэтому число не может иметь простых делителей, больших p, ибо произведение такого делителя с p уже больше, чем 
и тем более больше, чем 
Если 
то нам подойдут числа 
и В противном случае нам подойдут числа 
и 
Решение 2 (китайская теорема об остатках). Пусть p — меньшее из простых чисел. По китайской теореме об остатках найдется такое число a, которое делится на q и дает при делении на p остаток 1. Заметим, что любое число вида 
при целом k также удовлетворяет этому условию. Подберем k так, что 
Тогда число 
делится на q и результат деления меньше p, поэтому наибольший простой делитель q равен Кроме того, 
делится на p, поэтому если 
то наибольший простой делитель равен p и мы напыли требуемые числа. Пусть 
Тогда рассмотрим натуральное число 
Оно делится на q и результат деления меньше p, поэтому набольший простой делитель c равен q. Кроме того
число 
делится на p и частное не превосходит 
Поэтому наибольший простой делитель равен p и мы нашли требуемые числа.
Решение 3 (линейное представление наибольшего общего делителя). Пусть 
Но тогда
при любом целом k. Подберем k так, что 
Тогда число 
делится на q и меньше 
Поэтому у него нет простых делителей, больших 
Если 
не имеет простых делителей, больших p, то мы нашли требуемую пару чисел: и 
В противном случае заметим, что 
и
Тогда число 
делится на q и не превосходит pq. Поэтому у него нет простых делителей, больших q. Если 
не имеет простых делителей, больших p, то мы нашли требуемую пару чисел: 
и 
Если же требуемая пара чисел еще не найдена, то числа и имеют простые делители, большие p, а, значит,
Противоречие.
Найдите все натуральные числа n, для которых 
— простое число.
Рассмотрим три случая.
1) если n чётно, то данное число тоже чётно (и больше двух при 
2) если n нечётно и не делится на 3, то 
даёт остаток 2 от деления на 3, а 
даёт остаток 1 от деления на 3, поэтому сумма делится на 3 (и больше трёх при 
При результат равен 3, то есть является простым числом;
3) наконец, пусть n делится на 3 (и нечётно, что не используется). Тогда число, о котором идёт речь, является суммой кубов: если 
то
составное число (очевидно, что 
при ⩾ 3).
Ответ:
Найдите все натуральные числа n, для которых — простое число.
Рассмотрим три случая.
1) если n чётно, то данное число тоже чётно (и больше двух при
2) если n нечётно и не делится на 3, то даёт остаток 2 от деления на 3, а даёт остаток 1 от деления на 3, поэтому сумма делится на 3 (и больше трёх при При результат равен 3, то есть является простым числом;
3) наконец, пусть n делится на 3 (и нечётно, что не используется). Тогда число, о котором идёт речь, является суммой кубов: если то
составное число (очевидно, что при ⩾ 3).
Ответ:
----------
Дублирует задание 1796.
В клетках таблицы 80 × 80 расставлены попарно различные натуральные числа. Каждое из них либо простое, либо является произведением двух простых чисел (возможно, совпадающих). Известно, что для любого числа а из таблицы в одной строке или в одном столбце с ним найдется такое число b, что а и b не являются взаимно простыми. Какое наибольшее количество простых чисел может быть в таблนце?
Будем говорить, что составное число а обслуживает простое число p, если числа a и p не взаимно просты (то есть a делится
Значит, количество простых чисел в таблице не превосходит 4266.
Покажем теперь, как можно разместить в таблице 4266 простых чисел. Воспользуемся следующим алгоритмом заполнения строк и столбцов.
1) Первые 52 позиции заполняем различными простыми числами p1,
2) В следующих 26 клетках размещаем числа p1p2, p3p4, ..., p51p52.
3) Последние две позиции оставляем незаполненными.
Применим этот алгоритм последовательно сначала к строкам 1, 2, ..., 80, а затем к двум последним столбцам. Тем самым мы расставим
простых числа. Осталось заполнить клетки квадрата 2 × 2 из правого нижнего угла. В нем на одной диагонали мы поставим пару новых простых чисел, а на другой — их квадраты. В итоге мы разместим 4266 различных простых чисел.
Ответ: 4266.
Найдите все пары простых чисел p и q, для которых 
является точным квадратом.
Если 
то 
что не может быть точным квадратом, поскольку 
либо равно 27, либо делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, 
Пусть Тогда
и, значит, 
не является точным квадратом. Стало быть, p и q — различные нечетные простые. Будем считать, 
Пусть 
Обозначим для удобства 
Тогда
то есть pq является произведением двух натуральных чисел. Поэтому либо 
и 
либо 
и 
Второй случай невозможен, так как 
Тогда
Стало быть,
Но 
и 
поэтому и 
Этот вариант подходит:
Ответ: и 
или 
и 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
и или и Найдите все пары простых чисел p и q, для которых 
является точным кубом.
Если 
то
Поскольку первая скобка всегда меньше второй, а их произведение — квадрат простого числа, 
и 
Стало быть,
Следовательно,
Одна из скобок в правой части делится на q. Если первая, то 
делится на q, а если вторая, то 
делится на q. 
и 
В первом случае и 
что не подходит, так как 
Во втором случае и 
что также не подходит, ибо 
Наконец, в третьем случае получаем
откуда 
и 
Этот вариант подходит:
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Существуют ли такие простые числа p, q и r, для которых число 
является точным квадратом?
Предположим, что какие-то два простых числа равны. Пусть для определенности это p и q. Тогда
является точным квадратом и, значит, 
также является точным квадратом. Тогда 
для некоторого натурального k. Следовательно,
откуда 
и 
и, значит, 
что невозможно. Поэтому числа p, q и r различны.
В силу симметрии можно считать, что 
Если то 
и произведение
окажется отрицательным. Следовательно, числа p, q и r нечетные. Тогда их квадраты дают остаток 1 при делении на 4. Поэтому 
и четны, но не делятся на 4. Тогда произведение
делится на 23, но не делится на 24 и, значит, не является точным квадратом.
Ответ: нет.
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Найдите все пары простых чисел p и q, для которых 
Перепишем уравнение в виде
и перейдем к остаткам от деления на 7, получим
Следовательно,
Если простое число q отлично от 7, то q дает ненулевой остаток от деления на 7 и, значит, 
дает остаток 1 или 6. Тогда 
дает остаток 0 или 4 при делении на 7. Перебором остатков легко убедиться, что куб не может давать остаток 4 при делении на 7. Поэтому p делитcя на 7 и, значит, 
Такое число p не подходит. Действительно,
что делится на 3. Тогда 
делится на 3, поэтому либо q, либо 
делится на 3. В обоих случаях получаем, что q делится на 3 и, значит, Но
Таким образом, q должно равняться 7. В этом случае 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Найдите все такие простые числа p, что число 
является точным кубом.
Пусть 
Тогда
Поскольку 
число 
делится на p. Следовательно, 
и 
причем k нечетно. Тогда
Рассмотрим это равенство как квадратный трехчлен относительно n. Он имеет целый корень, поэтому его дискриминант
является квадратом четного числа. Тогда он не больше, чем 
Стало быть,
Таким образом, 
Такое возможно только при или 
но в этих случаях дискриминант не является точным квадратом.
Ответ: таких чисел не существует.
Найдите все такие натуральные числа x, y и z, что числа 
простые и
Заметим, что 
поскольку квадраты натуральных чисел не могут отличаться на единицу. Поэтому можно считать, 
и 
Тогда 
и, в частности, q нечетно, а y четно. Кроме того, 
и, значит, 
Поскольку 
и 
делятся на q,
также делится на q. Следовательно, 
или 
делится на q.
Первое невозможно, так как 
Поэтому на q делится 
Но 
и, значит, 
Тогда z нечетно. Но 
откуда получаем, что и 
Следовательно,
Стало быть, 
и, значит, 
и 
Ответ: (1, 2, 3) и (2, 1, 3).
Наверх